题目描述

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

示例 1:

• 输入： nums = [1,3,5,6], target = 5
• 输出： 2

示例 2:

• 输入： nums = [1,3,5,6], target = 2
• 输出： 1

示例 3:

• 输入： nums = [1,3,5,6], target = 7
• 输出： 4

提示：

• 1 <= nums.length <= 10^4
• -10^4 <= nums[i] <= 10^4
• nums 为 无重复元素 的 升序 排列数组
• -10^4 <= target <= 10^4

Java

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            
            if (nums[mid] == target) {
                return mid; // 找到目标值，返回索引
            } else if (nums[mid] < target) {
                left = mid + 1; // 目标值在右半部分
            } else {
                right = mid - 1; // 目标值在左半部分
            }
        }
        
        // 未找到目标值，返回应该插入的位置
        return left;
    }
}

为什么使用 <= 而不是 <？

while 循环条件通常使用 left <= right 而不是 left < right，这样做是为了确保所有的元素都会被检查到，尤其是在数组长度为 1 或者只有两个元素的情况下。

1. 确保所有元素都被检查：

   • 如果条件是 left < right，当 left 和 right 相等时，循环会终止。此时有可能数组中间的那个元素还没有被检查。
   • 使用 <= 可以确保在最后一次迭代中，left 和 right 相等时，还能检查那个唯一的元素。

2. 寻找插入位置：

   • 使用 <= 可以确保在 target 不存在的情况下，left 指向的正是目标值应该插入的位置。如果使用 <，在某些情况下，left 的值可能没有完全正确地指向应插入的位置，特别是在处理极端情况时。

二者的影响

• 如果使用 left <= right：

  • 当数组长度为 1 时，能够正确处理。
  • 如果目标值不存在，left 会最终指向插入位置。

• 如果使用 left < right：

  • 如果 left 和 right 相等时直接跳出循环，可能会遗漏对最后一个元素的检查。
  • 对于一些情况，特别是目标值在数组边界或不在数组中的情况下，插入位置的判断可能不准确。

例子分析

假设数组 nums = [1, 3, 5, 6]，target = 2：

• 如果使用 left <= right：

  • left = 0, right = 3
  • mid = 1（检查nums[1] = 3，继续调整）
  • right = 0（循环继续，最终会确定left = 1，此时插入位置正确）

• 如果使用 left < right：

  • left = 0, right = 3
  • mid = 1（检查nums[1] = 3，继续调整）
  • right = 0（left == right时退出循环，left此时是1，仍然正确）

在这种简单情况下，结果可能一致，但使用 <= 的方式更加稳健，能够处理各种边界情况和特殊情况。因此，while (left <= right) 是二分查找中更常见和可靠的选择。

1. while (left <= right) 场景

在编写二分查找或类似算法时，while (left <= right) 和 while (left < right) 的选择取决于希望在算法中如何处理区间和边界情况。

使用场景：

• 需要检查所有元素，包括区间的最后一个元素。
• 要处理的区间在每次迭代后可能会缩小到一个单一元素，且你希望对这个单一元素进行处理。
• 寻找精确匹配或在元素不存在时返回插入位置。

典型应用：

• 标准二分查找：在一个排序数组中查找目标值。如果找不到目标值，还需要返回其应插入的位置。
• 寻找上/下界：当你需要找出一个区间内的最左或最右的符合条件的元素。

示例代码：

public int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0;
    int right = nums.length - 1;

    while (left <= right) {  // 使用 <= 是为了包括最后一个元素
        int mid = left + (right - left) / 2;

        if (nums[mid] == target) {
            return mid;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }

    // 如果没有找到，left 就是插入位置
    return left;
}

2. while (left < right) 场景

使用场景：

• 需要处理的区间在每次迭代后会缩小到至少两个元素。
• 不需要检查单一元素的情况，或者能够保证在跳出循环后能准确处理剩余的元素。
• 寻找满足某种条件的临界点，通常是在返回时直接得到结果，而无需再进行额外判断。

典型应用：

• 寻找特定条件的最小值或最大值：如查找满足某个条件的最小元素，或查找符合某个条件的区间分界点。

示例代码：

public int findFirstGreaterThan(int[] nums, int target) {
    int left = 0;
    int right = nums.length;

    while (left < right) {  // 使用 < 是因为我们不需要检查最后一个元素
        int mid = left + (right - left) / 2;

        if (nums[mid] <= target) {
            left = mid + 1;  // 排除掉 mid，所以 left = mid + 1
        } else {
            right = mid;  // 保持 right 指向可能的候选结果
        }
    }

    // 当循环结束时，left == right，且 nums[left] 是第一个大于 target 的元素
    return left;
}

总结：

• 使用 <=：

  • 适用于需要检查整个区间，包括最后一个元素。
  • 多用于需要在找到或未找到目标元素时做额外处理的情况，如插入位置的计算。

• 使用 <：

  • 适用于不需要检查最后一个元素，或者可以在跳出循环后自然处理剩余元素的情况。
  • 多用于寻找特定边界或条件下的分界点。